Lecture Notes in Financial Economics

°c by Antonio Mele
The London School of Economics and Political Science
January 2009

Contents

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I Foundations 11
1 The classic capital asset pricing model 12
1.1 Portfolio selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 The wealth constraint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Choice without a safe asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 The market portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 The CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 The APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 A first derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Empirical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 The asymptotic APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Appendix 1: Some analytical details for portfolio choice . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 The primal program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 The dual program. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Appendix 2: Themarket portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 The tangent portfolio is themarket portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Tangency condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Appendix 3: An alternative derivation of the SML . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Appendix 4: Broader definitions of risk - Rothschild and Stiglitz theory . . . . . 28
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 The CAPM in general equilibrium 31
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 The static general equilibrium in a nutshell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Walras’ Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.2 Competitive equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Time and uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Financial assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5 Arbitrage and optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.1 How to price a financial asset? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.2 The Land of Cockaigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Equivalent martingale measures and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.1 The rational expectations assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2 Stochastic discount factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.3 Optimality and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7 Consumption-CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.1 The beta relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.2 The risk premium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.3 CCAPM & CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8 Infinite horizon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9 Further topics on incompletemarkets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9.1 Nominal assets and real indeterminacy of the equilibrium . . . . . . . . . 50
2.9.2 Nonneutrality of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.10 Appendix 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.11 Appendix 2: Proofs of selected results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.12 Appendix 3: Themulticommodity case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Infinite horizon economies 59
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Recursive formulations of intertemporal plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 The Lucas’ model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.1 Asset pricing andmarginalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.2 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.3 Rational expectations equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.4 Arrow-Debreu state prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.5 CCAPM & CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Production: foundational issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.1 Decentralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.2 Centralized economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4.3 Deterministic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4.4 Stochastic economies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Production based asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.1 Firms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.2 Consumers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.5.3 Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6 Money, asset prices, and overlapping generationsmodels . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.1 Introductory examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.6.2 Money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6.3 Money in amodel with real shocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.6.4 The Diamond’s model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7 Optimality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7.1 Models with productive capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7.2 Models with money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Appendix 1: Finite difference equations and economic applications . . . . . . . . 94
3.9 Appendix 2: Neoclassic growthmodel - continuous time . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9.1 Convergence results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.9.2 The model itself . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Continuous time models 102
4.1 Lambdas and betas in continuous time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.1 The pricing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.2 Expected returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.3 Expected returns and risk-adjusted discount rates . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 An introduction to arbitrage and equilibriumin continuous timemodels . . . . . 104
4.2.1 A “reduced-form” economy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.2 Preferences and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.2.3 Bubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.2.4 Reflecting barriers and absence of arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3 Martingales and arbitrage in a general diffusionmodel . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.1 The information framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.2 Viability of the model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.3 Completeness conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4 Equilibriumwith a representative agent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.1 The program . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.2 The older,Merton’s approach: dynamic programming . . . . . . . . . . . 120
4.4.3 Equilibrium and Walras’s consistency tests . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.4 Continuous-time CAPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.5 Black &Scholes formula and “invisible” parameters . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6 Jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6.2 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.6.3 Properties and related distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.6.4 Asset pricing implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.6.5 An option pricing formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7 Continuous-time Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.8 General equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.9 Incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.10 Appendix 1: Convergence issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.11 Appendix 2:Walras consistency tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.12 Appendix 3: The Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.13 Appendix 4: Models with final consumption only . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.14 Appendix 5: Further topics on jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.14.1 The Radon-Nikodymderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.14.2 Arbitrage restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.14.3 State price density: introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.14.4 State price density: general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
II Asset pricing and reality 141
5 On kernels and puzzles 142
5.1 A single factor model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2 A single factor model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.1 Themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.2.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.3 The equity premium puzzle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4 The Hansen-Jagannathan cup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.5 Simplemultidimensional extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.1 Exponential affine pricing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.5.2 Lognormal returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.6 Pricing kernels, Sharpe ratios and themarket portfolio . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.1 What does amarket portfolio do? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.6.2 Final thoughts on the pricing kernel bounds . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.6.3 The Roll’s critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.7 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6 Aggregate stock-market fluctuations 161
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.2 The empirical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3 Understanding the empirical evidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4 The asset pricing model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.1 Amultidimensionalmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2 A simplified version of themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.3 Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5 Analyzing qualitative properties ofmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.6 Time-varying discount rates and equilibrium volatility . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.7 Large price swings as a learning induced phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.8 Appendix 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.8.1 Markov pricing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.8.2 The maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.8.3 Dynamic Stochastic Dominance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.8.4 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.8.5 On bond prices convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.9 Appendix 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.10 Appendix 6.3: Simulation of discrete-time pricingmodels . . . . . . . . . . . . . 188
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7 Tackling the puzzles 192
7.1 Non-expected utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.1 The recursive formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.1.2 Testable restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.1.3 Equilibrium risk-premia and interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.1.4 Campbell-Shiller approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.1.5 Risks for the long-run . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 “Catching up with the Joneses” in a heterogeneous agents economy . . . . . . . 196
7.3 Incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.4 Limited stockmarket participation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.5 Appendix on non-expected utility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.5.1 Detailed derivation of optimality conditions and selected relations . . . . 199
7.5.2 Details for the risks for the lung-run . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.5.3 Continuous time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7.6 Appendix on economies with heterogenous agents . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
III Applied asset pricing theory 207
8 Derivatives 208
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.2 General properties of derivative prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.3.1 On spanning and cloning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3.2 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.3.3 The surprising cancellation, and the real meaning of “preference-free”
formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.4 Properties of models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.4.1 Rational price reaction to randomchanges in the state variables . . . . . 217
8.4.2 Recoverability of the risk-neutral density from option prices . . . . . . . 218
8.4.3 Hedges and crashes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.5 Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5.1 Statisticalmodels of changing volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5.2 Implied volatility and smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.5.3 Stochastic volatility and market incompleteness . . . . . . . . . . . . . . 222
8.5.4 Buying and selling volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.5.5 Pricing formulae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.6 Local volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6.1 Topics & issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6.2 How does it work? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.6.3 Variance swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
8.7 American options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.8 Exotic options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.9 Market imperfections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.10 Appendix 1: Additional details on the Black & Scholes formula . . . . . . . . . . 230
8.10.1 The original argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.10.2 Some useful properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.11 Appendix 2: Stochastic volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.11.1 Proof of the Hull andWhite (1987) equation . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.11.2 Simple smile analytics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
8.12 Appendix 3: Technical details for local volatility models . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9 Interest rates 237
9.1 Prices and interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.1.2 Markets and interest rate conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.1.3 Bond price representations, yield-curve and forward rates . . . . . . . . . 239
9.1.4 Forwardmartingale probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.2 Common factors affecting the yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.2.1 Methodological details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.2.2 The empirical facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3 Models of the short-termrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.3.2 The basic bond pricing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.3.3 Some famous univariate short-termratemodels . . . . . . . . . . . . . . 251
9.3.4 Multifactor models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.3.5 Affine and quadratic term-structuremodels . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.3.6 Short-term rates as jump-diffusion processes . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.4 No-arbitrage models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4.1 Fitting the yield-curve, perfectly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4.2 Ho and Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.4.3 Hull and White . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.4.4 Critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
9.5 The Heath-Jarrow-Mortonmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.5.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.5.2 Themodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.5.3 The dynamics of the short-termrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.5.4 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.6 Stochastic string shocksmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.6.1 Addressing stochastic singularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
9.6.2 No-arbitrage restrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.7 Interest rate derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.7.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.7.3 European options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.7.4 Related pricing problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.7.5 Market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.8 Appendix 1: Rederiving the FTAP for bond prices: the diffusion case . . . . . . 283
9.9 Appendix 2: Certainty equivalent interpretation of forward prices . . . . . . . . 285
9.10 Appendix 3: Additional results on T -forward martingale probabilities . . . . . . 286
9.11 Appendix 4: Principal components analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
9.12 Appendix 5: A few analytics for the Hull andWhitemodel . . . . . . . . . . . . 288
9.13 Appendix 6: Expectation theory and embedding in selectedmodels . . . . . . . 289
9.14 Appendix 7: Additional results on stringmodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
9.15 Appendix 8: Change of numeraire techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
IV Taking models to data 297
10 Statistical inference for dynamic asset pricing models 298
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.2 Stochastic processes and econometric representation . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.2.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.2.2 Mathematical restrictions on the DGP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.2.3 Parameter estimators: basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.2.4 Basic properties of density functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.2.5 The Cramer-Rao lower bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.3 The likelihood function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.3.1 Basic motivation and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.3.2 Preliminary results on probability factorizations . . . . . . . . . . . . . . 303
10.3.3 Asymptotic properties of theMLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.4 M-estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
10.5 Pseudo (or quasi)maximumlikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
10.6 GMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
10.7 Simulation-based estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
10.7.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
10.7.2 Asymptotic normality for the SMMestimator . . . . . . . . . . . . . . . 314
10.7.3 Asymptotic normality for the IIP-based estimator . . . . . . . . . . . . . 315
10.7.4 Asymptotic normality for the EMMestimator . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.8 Appendix 1: Notions of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
10.8.1 Laws of large numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.8.2 The central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.9 Appendix 2: some results for dependent processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11 Estimating and testing dynamic asset pricing models 322
11.1 Asset pricing, prediction functions, and statistical inference . . . . . . . . . . . . 322
11.2 Term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
11.2.1 The level effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.2.2 The simplest estimation case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
11.2.3 More general models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
11.3 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Appendixes 330
Mathematical appendix 332
A.1 Foundational issues in probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.2 Stochastic calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.3 Contraction theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.4 Optimization of continuous time systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
A.5 On linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341