FUNCTIONAL ANALYSIS
Douglas N. Arnold2
References:
John B. Conway, A Course in Functional Analysis, 2nd Edition, Springer-Verlag, 1990.
Gert K. Pedersen, Analysis Now, Springer-Verlag, 1989.
Walter Rudin, Functional Analysis, 2nd Edition, McGraw Hill, 1991.
Robert J. Zimmer, Essential Results of Functional Analysis, University of Chicago Press,
1990.
CONTENTS
I. Vector spaces and their topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Subspaces and quotient spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Basic properties of Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II. Linear Operators and Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
The Hahn–Banach Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III. Fundamental Theorems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
The Open Mapping Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
The Uniform Boundedness Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
The Closed Range Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV. Weak Topologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
The weak topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
The weak* topology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
V. Compact Operators and their Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Hilbert–Schmidt operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Compact operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23
Spectral Theorem for compact self-adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
The spectrum of a general compact operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
VI. Introduction to General Spectral Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
The spectrum and resolvent in a Banach algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Spectral Theorem for bounded self-adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
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