FINANCIAL STOCHASTICS

Notes for the Course by
A.W. van der Vaart
UPDATE, November 2005
Reading and Believing at Own Risk

CONTENTS

1. Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Exponential Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. L´evy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Cameron-Martin-Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . 12
3. Martingale Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1. Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . 29
3.4. Proof of Theorem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5. Multivariate Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . 37
4. Finite Economies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1. Strategies and Numeraires . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2. Arbitrage and Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3. Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4. Incompleteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.5. Utility-based Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6. Early Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7. Pricing Kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Extended Black-Scholes Models . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1. Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2. Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3. Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 81
6. American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1. Replicating Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2. Optimal Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3. Pricing and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.4. Optimal Stopping in Discrete Time . . . . . . . . . . . 89
7. Payment Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8. Infinite Economies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9. Term Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.1. Short and Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.2. Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3. Forward Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10. Vanilla Interest Rate Contracts . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.1. Deposits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.2. Forward Rate Agreements . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.3. Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4. Caps and Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.5. Vanilla Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
10.6. Digital Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.7. Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11. Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.1. Discrete Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.2. Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12. Swap Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.1. Linear Swap Rate Model . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12.2. Exponential Swap Rate Model . . . . . . . . . . . . . 138
12.3. Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
12.4. Convexity Corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . 139