MARTINGALES, DIFFUSIONS
AND FINANCIAL MATHEMATICS

A.W. van der Vaart
Preliminary Notes with (too many) mistakes.

CONTENTS

1. Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Uniform Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Monotone Class Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Discrete Time Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Stopped Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Martingale Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Doob’s Upcrossing Inequality . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6. Reverse Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Doob Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8. Optional Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Maximal Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Discrete Time Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Continuous Time Martingales . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3. Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4. Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6. Local Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7. Maximal Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1. Predictable Sets and Processes . . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Dol´eans Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Square-integrable Martingales . . . . . . . . . . . . . 54
5.4. Locally Square-integrable Martingales . . . . . . . . . . 61
5.5. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.6. Martingales of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . 68
5.7. Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.8. Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9. Predictable Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . 84
5.10. Itˆo’s Formula for Continuous Processes . . . . . . . . . 91
5.11. Space of Square-integrable Martingales . . . . . . . . . 95
5.12. Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6. Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1. L´evy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2. Brownian Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3. Exponential Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4. Cameron-Martin-Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . 114
7. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 124
7.1. Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2. Martingale Problem and Weak Solutions . . . . . . . . . 134
7.3. Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8. Option Pricing in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . 143
9. Random Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.1. Compensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.2. Marked Point Processes . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.3. Jump Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4. Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9.5. Reduction of Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.6. Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10. Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.1. Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164